论文 | 连续时间系统的无滤波参数估计

近日，分布式人工智能实验室2021级硕士生李子涵与沈栋教授合作的论文“Filter-Free Parameter Estimation Method for Continuous-Time Systems”被系统控制领域顶级期刊IEEE Transactions on Automation Science and Engineering接收发表。

—— 研究背景 ——

参数估计一直以来都是控制领域最重要的研究问题之一。现实中的大部分系统都含有一些未知参数。如果可以快速准确地对这些未知参数进行估计，那么我们就可以对系统的未知性有一个清晰的认识，从而可以更好地控制系统。因此，参数估计问题具有十分重要的研究意义。近年来，各种各样的参数估计方法被应用在了许许多多的实际系统中，如无人机，无人驾驶，机械臂与医疗机器人等，为社会生产与日常生活带来了巨大的经济效益。

对于连续时间系统，目前最主要的参数估计方法主要有最小二乘法，梯度法，卡尔曼滤波法等。然而，这些方法都需要对原系统进行滤波，将原连续时间系统转换为线性回归方程，进而应用以上方法进行未知参数估计。由于滤波器相当于一个积分器，因此，对原系统信号滤波相当于求解了多个复杂的微分方程，大大增加了算法的计算复杂度。

这些基于滤波的参数估计方法普遍要求系统信号满足一定的激励性，这一要求在实际中往往是不容易被满足的。激励性意味着信号的丰富性，这种足够丰富的信号虽然保证了参数估计的收敛性，但是，由于信号具有多种不同的频率，导致信号具有较强的波动，从而对系统具有较大的磨损。同时，在现实生活中，很多情况下我们希望系统可以保持一个固定的状态平稳地运行，如汽车的定速巡航，飞机的定高飞行等。然而，这种具有激励性的信号会使得系统的状态具有很大的波动，从而无法将系统状态维持在一个固定的水平。此外，这些基于滤波的参数估计方法收敛速度较慢，从而当未知参数突然发生改变时，参数估计值不能快速地调整到新的未知参数值附近。也就是说，这些方法不能很好地估计随时间快速变化的未知参数。

—— 研究内容 ——

在本篇文章中，我们首次提出了一种基于吸引子的参数估计方法：Attraction Estimation Method（AEM）。该方法利用了微分方程中的吸引子原理实现了对于未知参数的快速估计。

具体来讲，对于稳定的微分方程，在一定条件下，原方程的平衡点会成为一个全局/半全局吸引子。从而对于任意的初值，方程的解会渐进收敛到该吸引子。基于这一原理，我们通过构造合适的控制输入以及参数更新律，使得原系统具有一个仅依赖于未知参数的吸引子。进而根据吸引子与未知参数之间的关系，估计出未知参数的值。也就是说，由于吸引子的存在，最终参数估计值（关于系统状态的函数）会收敛到参数的真值。

从AEM中可以看到，我们完全去除了滤波器，对于未知参数的估计完全基于连续系统自身的性质。因此，使用AEM避免了复杂的微分方程的求解，降低了计算复杂速度。同时，由于我们人为地构造了吸引子，系统状态最终会收敛到该吸引子，这也就实现了在参数估计的同时系统状态收敛到固定常数值。并且，由于没有了持续激励性条件的限制，参数估计的收敛速度不再被激励性条件中的常数所限制，因此，参数估计的收敛速度大大提升。由于其快速的收敛速度，使得AEM可以估计快速变化的时变参数，去除了一直以来对于时变参数一阶导数有界这一关键假设。

—— 研究成果 ——

针对连续时间系统，本文首次提出了一种不用滤波器的参数估计方法：AEM。首先，针对定常未知参数，详细地分析了算法的收敛性。同时，通过与现有的常用参数估计方法，如梯度法，无滤波最小二乘法等方法比较，说明了AEM在收敛速度上的优势。此外，针对时变未知参数估计，首次提出了可达性以及有效估计等一系列概念，并针对AEM给出了一套完整的时变未知参数估计收敛性分析框架。该分析框架是一套全新的、不基于Lyapunov方法的时变未知参数估计收敛性分析框架。为时变参数估计收敛性的证明提供了一种新的视角与思路。并且，使用AEM对时变参数估计，去除了一直以来对于时变未知参数一阶导数有界这一关键假设，使得对于快变参数仍有较好的估计效果。最后，仿真实验验证了AEM 的有效性。

图1展示了对于定常未知参数，AEM参数估计效果与梯度法和无滤波最小二乘法的对比。从图中可以看出，AEM具有最快参数估计的收敛速度，并且在参数估计的同时，还可以使系统状态收敛到一固定常数。

图2展示了AEM对于时变参数的估计效果。从图中可以看出，几乎从一开始，参数估计值就收敛到了参数的真值。这也反映了AEM在速度上的巨大优势。同时，对于图中的时变未知参数，AEM依然具有很好的参数估计效果，估计值几乎完全收敛到了参数的真值。这也验证了算法的有效性和理论的正确性。

—— 作者介绍 ——

李子涵，中国人民大学数学学院应用数学专业硕士研究生。本科毕业于湖南大学数学学院数学与应用数学专业。主要研究方向包括学习控制与参数辨识。

—— 期刊简介 ——

IEEE Transactions on Automation Science and Engineering（T-ASE），由国际电子电气工程师协会IEEE主办，报道自动化与计算机领域热点前沿研究成果。T-ASE是中科院期刊分区计算机科学和控制系统类一区Top期刊，最新影响因子为5.6，2022年CiteScore为10.9，是中国自动化协会（CAA）推荐科技期刊目录中控制理论与控制工程类A+期刊。

—— 文章信息 ——

Zihan Li, Dong Shen*. Filter-Free Parameter Estimation Method for Continuous-Time Systems. IEEE Transactions on Automation Science and Engineering. DOI: 10.1109/TASE.2023.3307758